사타케 도표

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 실수 반단순 리 대수의 경우
- 2.2. 일반적인 체의 경우
3. 예시
- 3.1. 콤팩트 실수 반단순 리 대수
- 3.2. 분할 실수 반단순 리 대수
4. 사타케 도표와 보간 도표의 차이점
5. 역사
참조

1. 개요

사타케 도표는 실수 반단순 리 대수의 분류에 사용되는 딘킨 도표의 확장으로, 1960년 일본 수학자 사타케 이치로에 의해 도입되었다. 사타케 도표는 딘킨 도표의 꼭짓점을 검은색 또는 흰색으로 칠하고, 흰색 꼭짓점 간에 화살표를 추가하여 구성된다. 이는 실수체뿐만 아니라 임의의 체 위에 정의된 가약군에도 적용될 수 있으며, 갈루아 코호몰로지와 관련이 있다. 사타케 도표는 보간 도표와 함께 실수 반단순 리 군 또는 리 대수를 분류하는 데 사용되며, 카르탕 부분대수의 선택과 표현의 투명성에서 차이를 보인다.

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사타케 도표
개요
유형	리 대수의 표현론
분야	수학, 리 이론
상세 정보
정의	반단순 리 대수의 유한 차원 표현에 대한 불변 부분 공간의 존재에 기반한 도표
목적	실수 리 대수의 분류 및 구조 연구
구성 요소	딘킨 도표 (기약 복소 리 대수) 꼭짓점 색상 (검은색, 흰색, 회색) 화살표 (필요에 따라)
관련 개념	리 대수 딘킨 도표 바일 군 근계 기약 표현
역사 및 배경
기원	리 대수 및 리 군의 표현론 연구
창시자	사타케 이치로
발표 시기	1960년
초기 목표	실수 형태의 단순 리 대수 분류
발전	자크 티츠에 의해 일반화됨
수학적 정의
기본 설정	반단순 리 대수 g의 카르탕 부분 대수 h
양의 근	h*의 부분 집합인 양의 근 Δ+(g, h)
단순근	Δ+(g, h)의 단순근 Π
인볼루션	g의 인볼루션 σ (σ2 = 1)
고정점 부분대수	gσ = {x ∈ g \| σ(x) = x}
조건	hσ = h ∩ gσ가 gσ의 카르탕 부분대수
사타케 도표 구성	Π의 원소에 색상 지정 및 화살표 추가
흰색 꼭짓점	hσ에 제한이 0이 아닌 단순근
검은색 꼭짓점	hσ에 제한이 0인 단순근
회색 꼭짓점	σ에 의해 안정화되지 않는 단순근
연결	σ에 의해 연결되는 회색 꼭짓점 쌍을 화살표로 연결
응용
실수 리 대수 분류	실수 리 대수의 동형류 분류
표현론	리 대수의 표현 연구
기하학	대칭 공간 및 관련 기하학적 구조 연구
기타	다양한 수학 및 물리학 분야
참고 문헌
참고 문헌	Florian Wisser, Classification of complex and real semisimple Lie algebras (2001) Satake diagram (영문 위키백과)

2. 정의

실수 반단순 리 대수 $\mathfrak g$ 와 그 카르탕 분해 $\mathfrak g = \mathfrak k \oplus \mathfrak p$ 가 주어졌다고 하자. $\mathfrak p$ 의 극대 아벨 부분 리 대수 $\mathfrak a \subseteq \mathfrak p$ 를 고르고, $\theta$ 에 대하여 불변이며 $\mathfrak a$ 를 포함하는 카르탕 부분 대수 $\mathfrak h \subseteq \mathfrak g$ 를 고른다.

'''사타케 도표'''는 $\mathfrak g$ 의 딘킨 도표에 다음과 같은 추가 구조를 더한 것이다.

$\mathfrak a$ 에서 값이 0인 근에 대응되는 꼭짓점은 검게 칠한다.
$\mathfrak a$ 에서 값이 0이 아닌 근에 대응되는 꼭짓점은 희게 칠한다.
갈루아 군의 작용에 대하여 같은 궤도에 있는 두 흰 꼭짓점은 화살표로 잇는다.

사타케 도표는 이와 같이 딘킨 도표에서 일부 꼭짓점을 검게 칠하고, 다른 꼭짓점들을 화살표로 연결하여 만든다.

2. 1. 실수 반단순 리 대수의 경우

실수 반단순 리 대수

\mathfrak{g}

와 그 카르탕 분해

\mathfrak{g} = \mathfrak{k} \oplus \mathfrak{p}

가 주어졌다고 하자.

\mathfrak{p}

의 극대 아벨 부분 리 대수

\mathfrak{a}

를 선택한다.

\mathfrak{a}

를 포함하는 카르탕 부분 대수

\mathfrak{h}

를 선택하고, 근계

\Delta(\mathfrak{g}, \mathfrak{h})

를 정의한다.

근들은

\mathfrak{a}

에서의 값에 따라 다음과 같이 두 종류로 분류할 수 있다.

$\mathfrak{a}$ 에서 값이 0인 근
$\mathfrak{a}$ 에서 값이 0이 아닌 근. 이 위에는 갈루아 군 $\operatorname{Gal}(\mathbb{C/R}) = \{\operatorname{id}, z \mapsto \bar{z}\}$ 이 작용한다.

\mathfrak{g}

의 사타케 도표는

\mathfrak{g}

의 딘킨 도표에 다음과 같은 추가 구조를 더한 것이다.

$\mathfrak{a}$ 에서 값이 0인 근에 대응되는 꼭짓점은 검게 칠한다.
$\mathfrak{a}$ 에서 값이 0이 아닌 근에 대응되는 꼭짓점은 희게 칠한다.
갈루아 군의 작용에 대하여 같은 궤도에 있는 두 흰 꼭짓점은 화살표로 잇는다.

2. 2. 일반적인 체의 경우

보다 일반적으로, 임의의 체 위에 정의된 가약군에 대해서도 사타케 도표를 정의할 수 있다. 이 경우 흰색 꼭짓점 위에는 해당 체의 절대 갈루아 군이 작용한다.

3. 예시

사타케 도표의 예시는 다음과 같다.

콤팩트 리 대수는 모든 꼭짓점이 검은색으로 칠해진 사타케 도표에 해당한다.
분할 리 대수는 모든 꼭짓점이 흰색(검은색이 아닌)이고 짝을 이루지 않은 꼭짓점만 있는 사타케 도표에 해당한다.

3. 1. 콤팩트 실수 반단순 리 대수

콤팩트 실수 반단순 리 대수와 콤팩트 리 대수의 사타케 도표에서는 모든 꼭짓점이 검다.

3. 2. 분할 실수 반단순 리 대수

분할 실수 반단순 리 대수의 사타케 도표는 모든 꼭짓점이 희며, 아무런 화살표도 없다. 이는 갈루아 군의 작용이 항등 함수이기 때문이다.

4. 사타케 도표와 보간 도표의 차이점

사타케 도표와 보간 도표는 모두 실수체 위의 반단순 리 군 또는 리 대수(또는 대수적 군)를 분류하는 데 사용되지만, 몇 가지 차이점이 있다.

일반화 가능성: 사타케 도표는 모든 체로 일반화될 수 있으며 갈루아 코호몰로지의 일반적인 패러다임에 속하는 반면, 보간 도표는 특히 실수체 위에서 정의된다.
표현의 투명성: 실수 반단순 리 대수의 구조는 사타케 도표에서 더 투명하게 인코딩되지만, 보간 도표는 분류하기가 더 간단하다.
딘킨 다이어그램 해석: 장식되지 않은 딘킨 다이어그램(흰색 노드만 있고 화살표가 없는 다이어그램)은 사타케 도표로 해석될 때는 리 대수의 분할 실수 형태를 나타내고, 보간 도표로 해석될 때는 콤팩트 형태를 나타낸다.

4. 1. 일반화 가능성

사타케 도표와 보간 도표는 모두 실수체 위의 반단순 리 군, 리 대수(또는 대수적 군)를 분류하는 데 사용되며, 노드의 하위 집합을 검게 칠하고 일부 정점 쌍을 화살표로 연결하여 강화된 딘킨 다이어그램으로 구성된다. 그러나 사타케 도표는 모든 체로 일반화될 수 있으며 갈루아 코호몰로지의 일반적인 패러다임에 속하는 반면, 보간 도표는 특히 실수체 위에서 정의된다. 일반적으로 실수 반단순 리 대수의 구조는 사타케 도표에서 더 투명하게 인코딩되지만 보간 도표는 분류하기가 더 간단하다.

본질적인 차이점은 카르탕 대합 ''θ'' 및 연관된 카르탕 쌍

\mathfrak{g} = \mathfrak{k} \oplus \mathfrak{p}

(''θ''의 +1 및 −1 고유 공간)을 갖는 실수 반단순 리 대수

\mathfrak{g}

의 사타케 도표는 최대한 비콤팩트한 ''θ''-안정 카르탕 부분대수

\mathfrak{h}

에서 시작하여 정의된다는 것이다. 즉,

\theta(\mathfrak{h})=\mathfrak{h}

이고

\mathfrak{h}\cap\mathfrak{k}

가 가능한 한 작으며(위의 표현에서

\mathfrak{h}

는 최대 분할 토러스 ''S''의 리 대수로 나타난다), 반면에 보간 도표는 최대한 콤팩트한 ''θ''-안정 카르탕 부분대수에서 시작하여 정의된다. 즉,

\theta(\mathfrak{h})=\mathfrak{h}

이고

\mathfrak{h}\cap\mathfrak{k}

가 가능한 한 크다.

장식되지 않은 딘킨 다이어그램(즉, 흰색 노드만 있고 화살표가 없는 다이어그램)은 사타케 도표로 해석될 때는 리 대수의 분할 실수 형태를 나타내고, 보간 도표로 해석될 때는 콤팩트 형태를 나타낸다.

4. 2. 카르탕 부분 대수의 선택

사타케 도표와 보간 도표는 모두 실수체 위의 반단순 리 군 또는 리 대수(또는 대수적 군)를 분류하는 데 사용된다. 사타케 도표는 최대한 비콤팩트한 ''θ''-안정 카르탕 부분대수

\mathfrak{h}

에서 시작하여 정의된다. 즉,

\theta(\mathfrak{h})=\mathfrak{h}

이고

\mathfrak{h}\cap\mathfrak{k}

가 가능한 한 작다. 반면에 보간 도표는 최대한 콤팩트한 ''θ''-안정 카르탕 부분 대수에서 시작하여 정의된다. 즉,

\theta(\mathfrak{h})=\mathfrak{h}

이고

\mathfrak{h}\cap\mathfrak{k}

가 가능한 한 크다.

4. 3. 표현의 투명성

실수 반단순 리 대수의 구조는 사타케 도표에서 더 투명하게 인코딩되지만, 보간 도표는 분류하기가 더 간단하다.

카르탕 대합 ''θ'' 및 연관된 카르탕 쌍

\mathfrak{g} = \mathfrak{k} \oplus \mathfrak{p}

(''θ''의 +1 및 −1 고유 공간)을 갖는 실수 반단순 리 대수

\mathfrak{g}

의 사타케 도표는 최대한 비콤팩트한 ''θ''-안정 카르탕 부분대수

\mathfrak{h}

에서 시작하여 정의된다. 즉,

\theta(\mathfrak{h})=\mathfrak{h}

이고

\mathfrak{h}\cap\mathfrak{k}

가 가능한 한 작으며(위의 표현에서

\mathfrak{h}

는 최대 분할 토러스 ''S''의 리 대수로 나타난다), 반면에 보간 도표는 최대한 콤팩트한 ''θ''-안정 카르탕 부분대수에서 시작하여 정의된다. 즉,

\theta(\mathfrak{h})=\mathfrak{h}

이고

\mathfrak{h}\cap\mathfrak{k}

가 가능한 한 크다.

장식되지 않은 딘킨 다이어그램(즉, 흰색 노드만 있고 화살표가 없는 다이어그램)은 사타케 도표로 해석될 때는 리 대수의 분할 실수 형태를 나타내고, 보간 도표로 해석될 때는 콤팩트 형태를 나타낸다.

5. 역사

사타케 이치로佐武一郎|さたけいちろう^일본어 (1927~2014)가 1960년에 도입하였다.^[2]

참조

_[1] 웹인용 Classification of complex and real semisimple Lie algebras https://www.mat.univ[...] 2001-06
_[2] 저널 On representations and compactifications of symmetric Riemannian spaces

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